[数学]抽象函数及其解题方法（霍振祥）

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河北 霍振祥

抽象函数是相对于具体的函数而言，是指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数．求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力。随着高考“多考点想，少考点算”精神的突显，抽象函数问题在高考命中呈现逐渐加强的趋势．

抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其它性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图象的对称性之间的关系，或是求函数值、解析式等．抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“变换法”和“特例法”。

一、“赋值法”。把已知函数所满足的性质，即一般性的条件，赋予特殊的值，推出函数所必须满足的其它性质。

例1．已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，对任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(6) 成立，则f(2007)=                          (   )

A．2006   B．2007   C．2008   D．0

解析：f(-3)=0，取x=-3代入f(x+6)=f(x)+f(6)

得f(6) = 0，f(x+6)=f(x)，周期为6…，选D。

例2．（2006重庆高考）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)满足f(f(x)- x² +x)=f(x)- x² +x．

（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数x₀，使得f(x₀)= x₀，求函数f(x)的解析表达式。

解：（I）取x=2，又f(2)=3得

f(f(2)- 2² +2)=f(2)- 2² +2，即f(1)=1。

又f(0)=a，故f(f(0)-0²+0)= a-0²+0，

即f(a)= a。

（Ⅱ）又满足f(x₀)= x₀的实数x₀唯一，

由f(f(x)- x² +x)=f(x)- x² +x可知

对任意x∈R有f(x)- x² +x= x₀。

在上式中令x= x₀有f(x₀)- x₀² + x₀= x₀。

再代f(x₀)= x₀得x₀ - x₀²=0，

故x₀=0或x₀=1。

若x₀=0，方程f(x)= x有两个根，故x₀≠0。

若x₀=1，则有f(x)= x² –x+1，

易验证该函数满足题设。

“赋值法”是解抽象函数问题最常用的方法，解题的关键是灵活运用题设条件合理赋值，赋值要有明确的目标、依据和灵活的策略。

二、“变换法”。利用已知函数所满足的一般性的关系式，通过变量代换，推出所要求的关系式。

例3．下列命题正确的序号是__________

①若f(x)满足f(a+x)=f(b－x)则y=f(x)的图象关于直线对称；

②若f(a+x)+f(a－x)=2c则y=f(x)的图象关于点（a，c）中心对称．

③函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称．

④函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)的图象关于点中心对称．

解析：①②③④都正确。

证明：①②③证明略。

④设函数y=f(a+x)图象上任意一点M(m,n)，关于点对称的点为N(b-a-m,-n)，则

n=f(a+m)，-f(b-(b-a-m))= -f(a+m) =-n，

所以y=f(a+x)图象上任意一点关于点A对称的点都在y=-f(b-x)的图象上。

同理，y=-f(b-x)图象上任意一点关于点A对称的点都在y=f(a+x)的图象上。命题正确。

例4．函数f(x)的定义域是,且满足，求f(x)。

解：把 ①

把①中的x换成得

   ②，

再把②中换成x得

③

由①-②+③得

利用“变换法”求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础，明确的思维目标，较强的逻辑推理能力和灵活的变换策略。

三、“特例法”。根据所给函数的性质，找出适合题设性质的一个具体函数，借助这个函数求解，或利用这个具体的函数分析寻找解题突破口。

例5．（2007山东）给出下列三个等式：f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)= f(x)f(y)，

，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ）

解析：B中函数不适合每个等式，答案：B。

例6．函数f(x)的定义域关于原点对称，但不包括零，对于定义域中的任意x，在定义域中存在x₁,x₂，使x= x₁-x₂ f(x₁) ≠f(x₂)且满足：

（1）x₁,x₂在定义域中，x₁≠x₂且f(x₁) ≠f(x₂)，则；

（2）f(a)=1，（a是一个正的常数）；

（3）当0＜x＜2a时，f(x)＞0。

求证：（1）f(x)是奇函数；

（2）f(x)是周期函数，并求周期；

（3）f(x)在(0,4a)内是减函数。

分析：观察已知的结构特征，发现它就是两角差余切公式的形式。视,则（0，a）恰是一个周期，在（0，4a）是减函数，有了这样一个样本，证明时思路就清晰多了。

证明：把这份厚礼送给您吧——

解抽象函数问题的方法灵活多变，不易把握，，以上三种方法只是一些解题策略，要想灵活运用这些策略求解抽象函数问题，必须多在解题实践中积累经验，拓宽思路，提高抽象思维的能力。

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