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喜讯：2018年高考真题——数学（理）（天津卷）第20题命中14分2018-07-05 09:25:00　阅读 次 参与讨论()

喜讯：2018年高考真题——数学（理）（天津卷）

导数

（命中14 分）

【高考真题】2018年高考真题——数学（理）（天津卷）第20题  14分

    /down/2018-6/9/3244269.shtml

已知函数，，其中a>1.

（I）求函数的单调区间；

（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；

（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

【答案】（I）解：由已知，，有.

令，解得x=0.

由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.

（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.

由，可得曲线在点处的切线斜率为.

因为这两条切线平行，故有，即.

两边取以a为底的对数，得，所以.

（III）证明：曲线在点处的切线l₁：.

曲线在点处的切线l₂：.

要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l₁和l₂重合.

即只需证明当时，方程组有解，

由①得，代入②，得.   ③

因此，只需证明当时，关于x₁的方程③有实数解.

设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x₀，且x₀>0，使得，即.

由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，

所以.

下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，

当时，有，所以存在实数t，使得因此，当时，存在，使得.

所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.

【命中试题一】北京市东城区2018年高三文科数学综合练习（二）（二模）试卷 Word版含答案

/down/2018-5/9/3190184.shtml

19.设函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求的值.

【答案】解：的定义域为．       

（Ⅰ）当时，，

所以.          

令，得，

因为，所以.                            

          与在区间上的变化情况如下：

所以的单调递增区间为，单调递减区间.     

有极大值，无极小值.      

（Ⅱ）因为，所以.                           

      设直线与曲线的切点为（），  

      所以，即.

     又因为，               

即                             

所以.                                  

     设，                            

     因为，                  

     所以在区间上单调递增.

     所以在区间上有且只有唯一的零点.