“数形结合”在解数学压轴题中的作用

一般性数学试卷的最后一题在测试学生的数学素养的基础上，本着适度区分的原则，最后一题的三个小题的坡度逐渐提升，达到分层的效果．这些试题一般性取材于课本但高于课本，强调知识的灵活运用，综合性较强，原创题较少，大多属于改编体，它们的基本图形在几何画板中加以研究，达到推陈出新的效果，绝大多数属于改编题．下面以08年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例，进行归纳分析．它们的难度略低于中考的压轴题．

例1．（08静安）如图，在四边形ABC D中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DF⊥EF，设AG=x, DF=y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）当AD=11时，求AG的长；

（3）如果半径为EG的⊙E与半径为FD的　　　　

⊙F相切，求这两个圆的半径．

分析：本题以直角梯形为载体，第1小题梯形结合相似形知识来研究两条线段的数量关系，探求函数关系式和定义域;第2小题在研究特殊情况下知道函数值AD=11求自变量AG的值，第三小题结合圆的内容以两圆相切（外切和内切）这一知识点来压轴．其实如果学生基础扎实，利用两圆相切关系建立等式：当⊙E与⊙F外切时，EF=EG+FD=EG+FG，当⊙E与⊙F内切时，EF= FD–EG，相关的量都用含自便量的代数式来表示，从而利用关系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出两个圆的半径，考察了方程思想．

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