8.7 空间向量的应用
考纲要求
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
1.直线的方向向量及其应用
(1)直线的方向向量:直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量____(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量有____个.
(2)直线方向向量的应用:
利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.
①对于直线l,点a是直线l上一点,向量a是l的方向向量,在直线l上取=a,则对于直线l上任意一点p,一定存在实数t,使得______________.这样,点a和向量a不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.
②空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线确定,若设这两条直线相交于点o,它们的方向向量分别是a和b,p为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得=________,这样,点o与方向向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α内的任意一点.
资源难易程度:★★★★★★★★★★★★★★★
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